Калькулятор вектора переміщення

Калькулятор вектора переміщення — Обчислити відстань і напрям

📐 Обчисліть вектор переміщення, модуль, кут напрямку та компоненти. Візуалізуйте рух у 2D та 3D просторі з покроковими поясненнями.

Що таке переміщення?

Переміщення — це векторна величина, що описує зміну положення об’єкта. Це прямолінійна відстань від початкової позиції до кінцевої, незалежно від реального шляху, яким рухався об’єкт.

Формула переміщення

Переміщення в 2D:

Δr = ⟨Δx, Δy⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀⟩

Переміщення в 3D:

Δr = ⟨Δx, Δy, Δz⟩ = ⟨x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀⟩

Модуль (відстань)

2D:

|Δr| = √(Δx² + Δy²)

3D:

|Δr| = √(Δx² + Δy² + Δz²)

Кут напрямку

Кут у 2D відносно осі X:

θ = arctan(Δy/Δx)

• Вимірюється проти годинникової стрілки від додатної осі X
• Діапазон: -180° до +180° (або 0° до 360°)
• Використовуйте atan2(Δy, Δx) для правильного квадранта

Одиничний вектор

Одиничний вектор має модуль 1 і спрямований у бік переміщення:

û = Δr / |Δr|

Приклади обчислень

Приклад 1: Горизонтальний рух

• Початок: (0, 0), Кінець: (10, 0)
• Переміщення: ⟨10, 0⟩ м
• Модуль: 10 м
• Напрям: 0° (Схід)

Приклад 2: Діагональний рух

• Початок: (2, 1), Кінець: (7, 5)
• Переміщення: ⟨5, 4⟩ м
• Модуль: √(5² + 4²) = 6.40 м
• Напрям: arctan(4/5) = 38.66°

Приклад 3: 3D рух

• Початок: (1, 2, 3), Кінець: (4, 6, 8)
• Переміщення: ⟨3, 4, 5⟩ м
• Модуль: √(3² + 4² + 5²) = 7.07 м

Переміщення та відстань

Ключові відмінності:

• Переміщення: вектор (модуль + напрям), пряма лінія, може бути нулем
• Відстань: скаляр (лише модуль), сумарний шлях, завжди додатна

Приклад: Якщо пройти 5 м на Схід, потім 5 м на Захід:

• Пройдена відстань: 10 м
• Переміщення: 0 м (повернулися на старт)

Застосування в реальному світі

• Навігація: GPS обчислює переміщення до пункту призначення
• Фізика: Швидкість = переміщення / час
• Інженерія: Аналіз деформацій конструкцій
• Робототехніка: Планування маршруту та відстеження позиції
• Спорт: Аналіз переміщень гравців
• Авіація: Маршрути польоту та навігація

Напрями компаса

• N (Північ): 90° (додатна вісь Y)
• E (Схід): 0° (додатна вісь X)
• S (Південь): -90° або 270° (від’ємна вісь Y)
• W (Захід): ±180° (від’ємна вісь X)
• NE: 45°, SE: -45°, SW: -135°, NW: 135°

Додавання векторів

Декілька переміщень можна додати:

Δr_total = Δr₁ + Δr₂ + Δr₃ + ...

Приклад: Пройти 3 м на Схід, потім 4 м на Північ

• Δr₁ = ⟨3, 0⟩, Δr₂ = ⟨0, 4⟩
• Разом: ⟨3, 4⟩, Модуль: 5 м, Напрям: 53.13° (NE)

Важливі властивості

• Модуль переміщення ≤ пройдена відстань (рівність лише для прямого шляху)
• Переміщення може бути від’ємним (компоненти можуть бути від’ємними)
• Нульове переміщення ≠ відсутність руху (можна повернутися на старт)
• Переміщення не залежить від траєкторії (важливі лише старт і фініш)

Поширені помилки

• Плутати переміщення з відстанню — це різні величини!
• Неправильний квадрант кута — використовуйте atan2 для правильного кута
• Забувати про напрям — переміщення це вектор, потрібен напрям
• Додавати скаляри до векторів — не можна додати відстань до переміщення

💡 Порада: Розв’язуючи задачі з фізики, завжди малюйте схему початкової та кінцевої позиції. Для 3D використовуйте правило правої руки: великий палець (X), вказівний (Y), середній (Z). Пам’ятайте: переміщення залежить ЛИШЕ від початкової та кінцевої точок, а не від траєкторії — тому людина, що йде колом, може мати нульове переміщення, попри значну пройдену відстань!