Калькулятор площі еліпса

Калькулятор площі еліпса — обчисліть площу, периметр і властивості

📐 Обчислюйте площу, периметр, ексцентриситет і всі властивості еліпса. Візуальний калькулятор з формулами, прикладами та покроковими поясненнями.

Що таке еліпс?

Еліпс — це замкнена крива, що утворює овальну форму. Це множина всіх точок, для яких сума відстаней до двох фіксованих точок (фокусів) є сталою. Еліпс має дві осі: довшу велику піввісь (a) і коротшу малу піввісь (b).

Формула площі еліпса

Площа = π × a × b

• a = велика піввісь (найдовший радіус)
• b = мала піввісь (найкоротший радіус)
• π ≈ 3.14159

Формула периметра еліпса

Точний периметр еліпса потребує еліптичного інтеграла і не має простої замкненої форми. Однак існують чудові наближення:

Наближення Рамануджана:

P ≈ π[3(a + b) - √((3a + b)(a + 3b))]

Просте наближення (добре для e < 0.5):

P ≈ π√[2(a² + b²)]

Ексцентриситет

Ексцентриситет (e) показує, наскільки еліпс «витягнутий»:

e = √(1 - b²/a²)

• e = 0: Ідеальне коло (a = b)
• 0 < e < 1: Еліпс
• e = 1: Парабола (вироджений випадок)
• e > 1: Гіпербола

Лінійний ексцентриситет

Відстань від центру до кожного фокуса:

c = √(a² - b²) = a × e

Фокальна відстань (між двома фокусами): 2c

Інші важливі властивості

• Великий діаметр: 2a (найбільша ширина)
• Малий діаметр: 2b (найменша ширина)
• Співвідношення осей: a/b (наскільки витягнутий)
• Сплюснутість: f = (a - b)/a = 1 - b/a
• Latus rectum: 2b²/a (хорда через фокус перпендикулярно великій осі)

Приклади розрахунків

Приклад 1: Стандартний еліпс

• Велика піввісь (a) = 10 см
• Мала піввісь (b) = 5 см
• Площа = π × 10 × 5 = 157.08 см²
• Периметр ≈ 48.44 см (Рамануджан)
• Ексцентриситет = √(1 - 5²/10²) = 0.866

Приклад 2: Майже круглий

• a = 8 см, b = 7.5 см
• Площа = π × 8 × 7.5 = 188.50 см²
• Ексцентриситет = 0.330 (майже круглий)

Застосування у реальному світі

• Астрономія: орбіти планет — еліпси (Перший закон Кеплера)
• Архітектура: еліптичні куполи, арки та амфітеатри
• Інженерія: еліптичні шестерні, дзеркала та відбивачі
• Оптика: еліптичні лінзи та дзеркала фокусують світло
• Медицина: МРТ, вимірювання ока, форми тіла
• Мистецтво й дизайн: овальні рамки, декоративні елементи

Відомі еліпси

• Орбіта Землі: a ≈ 149.6 млн км, e ≈ 0.0167 (майже кругова)
• Орбіта Марса: e ≈ 0.0934 (більш еліптична)
• Комета Галлея: e ≈ 0.967 (дуже витягнута)
• Арена Колізею: еліпс 88м × 54м
• Piazza San Pietro: еліптична колонада у Ватикані

Еліпс vs Коло

• Коло: особливий випадок, коли a = b, e = 0
• Площа кола: πr² (r = a = b)
• Довжина кола: 2πr (точно)
• Еліпс: має два різні радіуси, 0 < e < 1

Як намалювати еліпс

Метод зі шнурком:

1. Розмістіть дві кнопки у фокусах (на відстані 2c)
2. Прив’яжіть шнурок довжини 2a навколо обох кнопок
3. Натягніть шнурок олівцем і обведіть криву
4. Сума відстаней від олівця до кожної кнопки залишається сталою

Поради для обчислень

• Завжди перевіряйте: a має бути ≥ b (за означенням)
• Одиниці важливі: дотримуйтеся однакових одиниць у всіх розрахунках
• Точність периметра: формула Рамануджана точна до ~0.01% для більшості еліпсів
• Особливий випадок: коли a = b, формули зводяться до формул кола

💡 Порада: Щоб запам’ятати формулу площі, уявіть «стискання» кола. Коло з радіусом a має площу πa². Еліпс з великою піввіссю a та малою піввіссю b — це ніби стиснути це коло в одному напрямку в b/a разів, отримавши площу π × a × b. Периметр же набагато складніший і не має простої точної формули!